Vật lý thống kê - P5

Khai triển hàm mủ exp(x)

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
Ký hiệu phần tử chéo:
Khai triển số hạng thứ hai của vế phải 4.6 và
viết lại ta được:
]
EF
exp[)E(
)8.4(/P
ˆ
/)E(
n
k
kkkkk
θ
−
=ρ
>ϕϕ=<ρ=ρ
)7.4(
H
ˆ
!J
1
.
F
exp)]x(E[(
J
1J
i








θ
−






θ
=ρ
∑
∞
=

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
(Ribbs quantum distribution)
•
Tính lại phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất:
)9.4(dx)x(
H
ˆ
!J
1
).
F
exp()x(
/
ˆ
/
iik
J
1J
i
*
k
kkkk
ϕ














θ
−
θ
ϕ
>=ϕρϕ=<ρ
∑
∫
∞
=
Chú ý tích của toán tử H nhiều lần (thí dụ J=2):
( )
( )
)10.4(EH
ˆ
E)E(H
ˆ
)H
ˆ
(H
ˆ
H
ˆ
K
J
nK
J
K
2
KKKKK
2
ϕ=ϕ→
ϕ=ϕ=ϕ=ϕ

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
(Ribbs quantum distribution)
Đưa hàm riêng ra ngoài dấu tổng và viết lại
Đưa kết quả 4.10 vào 4.9 và viết lại ta được:
)11.4(dx)x(.
E
!J
1
).
F
exp()x(
i
1J
ik
J
K
i
*
kkk














ϕ
θ
−
θ
ϕ=ρ
∑
∫
∞
=
)12.4()
E
F
exp(dx)x()
E
F
exp()x(
dx)x(
E
!J
1
)
F
exp()x(
K
iiK
K
i
*
K
iiK
1J
J
K
i
*
KKK
θ
−
θ
=ϕ






θ
−
θ
ϕ=
ϕ














θ
−
θ
ϕ=ρ
∫
∑
∫
∞
=

Photo of Ribbs and
Ribbs distribution
]
EF
exp[
)E(
n
kKK
θ
−
=
=ρ=ρ

Bài tập
•
Xét hệ hạt electron ở hố thế một chiều :
)
a
xn
sin(
a
2
)x(
n
π
=ϕ
TK
B
=θ
Hệ ở trạng thái CB nhiệt ở nhiệt độ phòng
300K. Năng lượng Fermi thống kê F của các
hạt ứng với mức n-5, tính xác suất của hệ hạt
ứng với các mức năng lượng n = 1, 2, 3, 4
Cho biết a=0,1 nm:
Với K là hằng số Boltzmann:
K/J10.38,1K
023
B
−
=
2
2
n
ma2
)n(
E
π
=

4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT
•
Kết luận: Thống kê chính tắc lượng tử có
dạng:
)13.4(1)E(S
K
n
1K
KK
=ρ=ρ
∑
=
Theo tính chất của ma trận thống kê (Điều
kiện chuẩn hóa)
)12.4()
E
F
exp()E(
K
KKK
θ
−
θ
=ρ=ρ

4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT
Gọi Q là tổng thống kê của phân bố chính tắc
LT, ta viết lại
Đưa kết quả 4.12 vào 4.13 và viết lại ta được:
)14.4(1
E
exp
F
exp
EF
expS
n
1K
K
n
1K
K
KK
=






θ
−






θ
=






θ
−
=ρ
∑∑
==
)15.4(
F
exp
E
expQ
n
1K
K






θ
−=






θ
−
=
∑
=

4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT
•
Từ tổng thống kê chính tắc lượng tử ta tính được NL Fermi F:
)17.4()
E
exp(.gQ
n
1K
K
n
∑
=
θ
−=
Lưu ý trong trường hợp suy biến (một mức năng lượng có nhiều
trạng thái vi mô khác nhau) Lúc đó tổng thống kê chính tắc là:
Trong đó g
n
là số trường hợp suy biến của mức năng lượng E
n

)16.4(QlnF
θ−=
)15.4(
F
exp
E
expQ
n
1K
K






θ
−=






θ
−
=
∑
=
Tóm lại:

Bài Tập
Theo kết quả bài toán DĐĐH
Giải bài toán dao động tử điều hòa 3D:
Trước hết xem lời giải nghiệm hàm sóng
và năng lượng:

Xem chi tiết: Vật lý thống kê - P5