TOÁN ÔN THI -HÌNH 12

ky niem DaLat1995
GV:BÙI NGỌC LINH

0 0 0
0
Ax By Cz D
d(M ,( ))
2 2 2
A B C
α
+ + +
=
+ +
o
x
y
z
M
0
H
n


Khoảng cách
1-Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho một điểm
M
o
= (x
o
; y
o
; z
o
) và một mặt phẳng (α):
Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d(M
o
, (α)) là khoảng cách từ điểm M
o
đến mặt phẳng (α).
Tương tự như cách tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng trong mặt phẳng ta tìm được :

α

2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Giả sử điểm M
1
khơng thuộc ∆. Khi đó hình bình hành M
o
M
1
M
2
M
3

với
                           
                                          
sẽ có diện tích
                           
                                        
Từ đó
                       
                                                            
                        
Khi M
1
∈ ∆ thì H ≡ M
1
nên M
1
H = 0 ; do đó cơng thức (*) cũng
đúng cho trường hợp M
1
thuộc đường thẳng ∆. Vậy nếu kí hiệu d(M
1
,
∆) là khoảng cách từ một điểm M
1
đến đường thẳng ∆ thì :

0
y
x
z
M
0
M
1
M
2
M
3
H
0 3 1 2
M MM M u= =
uuuuuur uuuuuur
r
0 1
1
0 3
M ,
(*)
M u
S
M H
M M u
 
 
= =
uuuuuur
r
r
0 1
M ,S M u
 
=
 
uuuuuur
r
0 1
1
M ,
( , )
M u
d M
u
 
 
∆ =
uuuuuur
r
r
∆
0 0 0
x-x y-y z-z
:
a b c
∆ = =

3-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
o
, có
vectơ chỉ phương . Đường thẳng ∆’ đi qua điểm M’
o
có vectơ chỉ phương .

Ta hãy tìm khoảng cách giữa ∆ và ∆’. Gọi H là hình hộp
M
0
M
1
M
2
M
3
.M’
0
M’
1
M’
2
M’
3
với
                           
                                                       
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đáy của hình hộp trên, tức là chiều cao của hình hộp.
Nếu gọi d(∆, ∆’) là khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ thì :
               
                                                                      
                                  
Vậy

u
r
u'
r
0 1
M M u=
uuuuuur
r
0 3
M' ' 'M u=
uuuuuuuur
r
0 1 2 3
0 1 0 3 0 0
0 0
H
M
0 1 0 3
M ,M .M '
[ , '].M '
V
d( , ')
[ , ']
S
[M ,M
M M M
M M M
u u M
u u
M M
 
 
∆ ∆ = = =
uuuuuur uuuuuur uuuuuuuur
uuuuuuur
r r
uuuuuur uuuuuur
r r
0 0
[ , '].M '
d( , ')
[ , ']
u u M
u u
∆ ∆ =
uuuuuuur
r r
r r

0 1 2 3
0 1 0 3 0 0 0 0
H
M
0 1 0 3
[M ,M .M ' [ , '].M '
V
d( , ')
[ , ']
S
[M ,M
M M M
M M M u u M
u u
M M
∆ ∆ = = =
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuuur
r r
uuuuuur uuuuuur
r r
0 0
[ , '].M '
d( , ')
[ , ']
u u M
u u
∆ ∆ =
uuuuuuur
r r
r r
x
z
y
o
∆
∆’
u

'u

M’
0
M’
3
M’
1
M’
2
M
0
M
3
M
1
M
2
Ố

Bài tập1 :
Tìm khoảng cách từ điểm M
0
(1;-1;2) , M
1
(3;4;1) ,
M
2
(-1;4;3) đến mặt phẳng:x+2y+2z-10=0
GIẢI:
0
1(1) 2(-1) 2(2) 10 7
7
d(M ,( ))
3
2 2 2 9
1 2 2
α
+ + − −
= = =
+ +
Khoảng cách từ điểm M
1
(3;4;1) dến (α): x+2y+2z-10=0 là:
1
1(3) 2(4) 2(1) 10 3
d(M ,( )) 1
2 2 2 9
1 2 2
α
+ + −
= = =
+ +
Khoảng cách từ điểm M
0
(1;-1;2) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là:
Khoảng cách từ điểm M
2
(-1;4;3) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là:
2
1(-1) 2(4) 2(3) 10 3
d(M ,( )) 1
2 2 2 9
1 2 2
α
+ + −
= = =
+ +

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt
phẳng:2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z-1=0
GIẢI: M(x;y;z) cách đều hai mặt phẳng:2x-y+4z+5=0 và
3x+5y-z-1=0 nên ta có:
2x-y 4z 5
2 2 2
2 (-1) 4
+ +
+ +
⇔
=
3x 5y-z-1
2 2 2
3 5 (-1)
+
+ +
⇔
2x-y 4z 5
3
+ +
3x 5y-z-1
5
+
=
( ) ( )
( ) ( )
2x-y 4z 5 3 5 1
3 5
2x-y 4z 5 3 5 1
3 5
x y z
x y z

+ + + − −
=


⇔ ⇔

+ + + − −
= −


(2 5 3 3) ( 5 5 3) (4 5 3) 5 5 3 0
(2 5 3 3) ( 5 5 3) (4 5 3) 5 5 3 0
x y z
x y z

− − + + + + + =

+ − − + − + − =



Bài 3:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:Ax+By+Cz+D=0và
Ax+By+Cz+D’=0 vơi D≠D’
GIẢI: Điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) thuộc mặt thứ nhất hay:
Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0 hay:Ax
0
+By
0
+Cz
0
=-D
Khoảng cách từ M
0
dến mặt thứ hai là:
0 0 0
0
Ax By Cz D' '
d(M ,( ))
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
D D
α
+ + + − +
= =
+ + + +
Bài 4:Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2;3;4) và mặt
phẳng:2x+3y+z-17=0
GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M
0
(0;0;z
0
) ta có:
0
2 2 2
0
2.0 3.0 4z -17
2 3 ( 4)
2 2 2
2 3 1
z
+ +
= + + −
+ +
0
2
0
17
13 ( 4)
14
z
z
−
⇔ = + −
Giải ra được z
0
=3

BÀI 5:
Trên trục Oy tìm điểm cách đều haiø mặt phẳng:x+y-z+1=0 và
x-y+z-5=0
GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M
0
(0;y
0
;0) ta có:
0 0
0 y 0 1 0 y 0 5
2 2 2 2 2 2
1 1 ( 1) 1 ( 1) 1
+ + + − + −
=
+ + − + − +
Giải ra được y
0
=-3
0 0
1 5y y+ = − −
⇔
Bài 6:Tính khoảng cách từ điểm M
0
(2;3;1) và M
1
(1;-1;1) đến
đường thẳng :
x 2 y-1 z 1
1 2 -2
+ +
= =
Giải:
0
(4; 2;2)MM =
uuuuur
M(-2;1;-1)∈∆
0
2 2 2
2 2 2 1 1 2
M ,
2 2 2 4 4 2
10 2
( )
0'
3
2 2 2 9
1 2 ( 2)
M u
d M
− −
+ +
 
 
∆ = = =
+ + −
uuuuur
r

1
(3; 2; 2)MM = −
uuuuur
M(-2;1;-1)∈∆
0
2 2 2
2 2 2 1 1 2
M ,
2 2 2 3 3 2
8 2
( )
0'
3
2 2 2 9
1 2 ( 2)
M u
d M
− −
+ +
 
− −
 
∆ = = =
+ + −
uuuuur
r
M
1
(1;-1;1)
Bài 7:Tính khoảng cách từ điểm (2;3;-1) tới đường thẳng:
{
x y-2z-1 0
x 3y 2z 2 0
+ =
+ + + =
Giải:
{
x y-2z-1 0
x 3y 2z 2 0
+ =
+ + + =
5
x 4
2
3
y 2
2
t
t
z t



= +

⇔


= − −


=

Đường thẳng này qua điểm:
5 3
( ; ;0)
2 2
M −
0
1 9
( ; ; 1)
2 2
MM = − −
uuuuur
M
0
(2;3;-1)
Véc tơ chỉ phương:
(4; 2;1)u = −
r

2 2 2
2 1 1 4 4 2
9 1 1 9
1 1
205
2 2 2 2
( )
0'
2 2 2 14
4 ( 2) 1
d M
− −
+ +
− − − −
∆ = =
+ − +
Bài 8:tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
1
) 1
1
x t
a y t
z
= +


= − −


=

và
2 3
2 3
3
x t
y t
z t
= −


= − +


=

Giải:
0 0
[ , '].M '
d( , ')
[ , ']
u u M
u u
∆ ∆ =
uuuuuuur
r r
r r
Ta có:
0
(1; 1;1)M −
0
' (2; 2;0)M −
0 0
' (1; 1; 1)M M = − −
uuuuuuur
(1; 1;0)u −
r
'( 1;1;1)u −
r
d( , ') 0∆ ∆ =

{
2x-z-1 0
)
-x-y 4 0
b
=
+ =
{
3x y-2 0
3y 3z 6 0
+ =
− − =
và
Bài 8:Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
4
1 2
x t
y t
z t
=


= −


= − +

{
2x-z-1 0
-x-y 4 0
=
+ =
⇔
Giải
Đường thẳng qua điểm M
0
(0;4;-1)
Véc tơ chỉ phương :
(1; 1;2)u −
r
{
3x y-2 0
3y 3z 6 0
+ =
− − =
2 3
3
x t
y t
z t
=


= −


= −

⇔
Đường thẳng qua điểm M’
0
(0;2;0)
Véc tơ chỉ phương :
'(1; 3; 3)u − −
r
0 0
' (0; 2;1)M M = −
uuuuuuur
( )
-1 2 2 1 1-1
, ' ; ; 9;5; 2
-3 3 -3 1 1 -3
u u
 
 
= = −
 ÷
 
−
 
r ur
0
0
u,u ' M M ' 9.0 2.5 ( 2).1 12
 
⇔ = − + − = −
 
r r uuuuur
0 0
[ , '].M '
12
12
d( , ')
[ , ']
2 2 2 110
9 5 2
u u M
u u
−
∆ ∆ = = =
+ +
uuuuuuur
r r
r r

c/
Bài 8:Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
x 1 y 3 z 4
2 1 -2
− + −
= =
x 2 y-1 z 1
-4 -2 4
+ +
= =
và
Đương thẳng thứ nhất qua điểm M
0
(1;-3;4)
Véc tơ chỉ phương :
(2;1; 2)u −
r
Đương thẳng qua điểm M’
0
(-2;1;-1)
Véc tơ chỉ phương :
'(2;1; 2)u −
r
0 0
' ( 3;4; 5)M M = − −
uuuuuuur
Giải
0
0
u,u ' M M ' 0.( 3) _ 0.4 0.( 5) 0
 
⇔ = − + + − =
 
r r uuuuur
Hai đường thẳng này song song nên có khoảng cách là:
2 2 2
1 2 2 2 2 1
4 5 5 3 3 4
( , ') ( )
0'
2 2 2
2 1 ( 2)
9 256 121 386
3 3
d d M
− −
+ +
− − − −
∆ ∆ = ∆ = =
+ + −
+ +
= =

Xem chi tiết: TOÁN ÔN THI -HÌNH 12